FÓRMULAS Y CÁLCULOS PARA TRANSMISIONES MECÁNICAS.






INTRODUCCIÓN.-


Para diseñar y construir una transmisión circular por medio de poleas, engranajes o piñones (la más común y fácil de construir), así como para conocer su relación de transmisión, hay que calcular y tener en cuenta una serie de puntos para saber el resultado que dará en la locomotora. Siguiendo el diagrama utilizado como ejemplo en ésta sección, esos datos son los siguientes:


  1. Relación de transmisión parcial entre el eje del motor de arrastre y el eje intermedio (1ª desmultiplicación).

  2. Relación de transmisión parcial entre el eje intermedio y el eje motor de la locomotora (2ª desmultiplicación).

  3. Relación de transmisión total entre el eje del motor y el eje motor de la locomotora (desmultiplicación completa).

  4. Velocidad de salida del motor de arrastre (máxima).

  5. Velocidad del eje intermedio.

  6. Velocidad del eje motor de la locomotora.

  7. Velocidad final de la locomotora en Km/h.


Una buena relación final entrada/salida para el modelismo tripulado suele variar de entre 5:1 a 8:1, o sea cuando el motor ha de girar de 5 a 8 veces (respectivamente) por cada vuelta del eje motor de la locomotora. La relación puede variar según el tipo de motor y/o el diámetro de las ruedas motoras. Éste último punto sigue siempre una relación directa: a ruedas mas grandes requerirá mayor reducción y viceversa.

En el caso de los motores eléctricos las r.p.m. varian según el tipo, aunque suelen ser alrededor de 3.500 para motores de 1 H.P. con una alimentación a pleno voltaje. En cualquier caso cada motor debe llevar grabadas todas sus carácterísticas en una etiqueta informativa del fabricante, datos a tener en cuenta a la hora de hacer los diseños y cálculos.

Los ejemplos aquí descritos se basan en el diagrama y los datos que aparecen posteriormente. Estos corresponden a varias locomotoras reales de 5 pulgadas que han venido dando un excelente servicio desde el año 2.000 y hasta la fecha. Sirvan por tanto como una buena referencia para otros diseños.




ECUACIONES BÁSICAS.-


Hay ecuaciones básicas para calcular las velocidades y/o la relación de transmisión. Éstas solo variarán en la denominación de algunos de sus factores, dependiendo de si se emplean piñones o engranajes (número de dientes) o poleas (diámetros). Se muestran solo como referencia genérica, ya que de ellas se derivan después fórmulas mas concretas y fáciles de aplicar para cada caso:


PARA VELOCIDADES USANDO PIÑONES O ENGRANAJES.-

DT-P1 x V-P1 = DT-P2 x V-P2



PARA VELOCIDADES USANDO POLEAS.-

Ø-P1 x V-P1 = Ø-P2 x V-P2



PARA LA RELACIÓN DE TRANSMISIÓN USANDO PIÑONES O ENGRANAJES.-

RT = V-P2 / V-P1 = DT-P1 / DT-P2



PARA LA RELACIÓN DE TRANSMISIÓN USANDO POLEAS.-

RT = V-P2 / V-P1 = Ø-P1 / Ø-P2



En donde:

  • DT-P1: Número de dientes del piñón motriz.

  • Ø-P1: Diámetro del piñón o polea motrices.

  • V-P1: Velocidad del piñón; o polea motrices.

  • DT-P2: Número de dientes del piñón; arrastrado.

  • Ø-P2: Diámetro del piñón o polea arrastrados.

  • V-P2: Velocidad del piñon o polea arrastrados.

  • RT: Relación de transmisión.






DIAGRAMA CLÁSICO DE UNA TRANSMISIÓN PARA MODELISMO TRIPULADO.-



El siguiente dibujo muestra la típica transmisión para una locomotora. En éste caso se supone que los elementos son piñones y cadenas, que pueden ser sustituidos por poleas con correas, o bien por engranajes en toma constante.

Todos los ejemplos mostrados en ésta sección se basan en éste diagrama.







De ello se desprende que la combinación de E-1, E-2, P-1 y P-2 forman la primera desmultiplicación, mientras que E-2, E-3, P-3 y P-4 forman la segunda.

La rueda motora de la locomotora no aparece dibujada en E-3 para mayor sencillez del dibujo.

La transmisión de éste ejemplo cuenta por tanto con dos desmultiplicaciones. Obviamente pueden diseñarse otras con mas o menos etapas según las necesidades, pero el proceso y los cálculos serán análogos.




ELABORACIÓN DE DISEÑOS.-


Como ya se mencionó, las siguientes fórmulas nacen de las ecuaciones básicas para simplificar diseños y cálculos. Algunas son en esencia iguales, y donde solo varían las denominaciónes de algunos de sus componentes, a saber:


  • Según el número de dientes de cada piñón o engranaje.

  • Según el diámetro de cada piñón. (Éste se medirá desde la mitad de la altura de dos dientes opuestos en un diámetro imaginario, y que es a efectos prácticos igual al de una polea de tamaño similar).

  • Según el diámetro de cada polea.

  • En base al diámetro de la llanta de la rueda motora de la locomotora.


DENOMINACIONES Y DATOS APLICADOS EN TODOS LOS EJEMPLOS.-


Tabla recordatorio para consulta de los datos o factores que aparecen en cualquier ecuación o fórmula de ésta sección:



DenominaciónNº de dientes (DT)Diámetro (Ø)Elemento
E1Eje del motor de arrastre
E2Eje intermedio
E3Eje motor de la locomotora
P112 dientes30 m/mPiñón, polea o engranaje del motor de arrastre
P236 dientes90 m/mPiñón, polea o engranaje remolcado del eje intermedio
P312 dientes30 m/mPiñón, polea o engranaje pequeño del eje intermedio
P420 dientes50 m/mPiñón, polea o engranaje final del eje motor de la locomotora
RRM60 m/mRadio de la rueda motora de la locomotora
VTérmino genérico utilizado para indicar una velocidad
DTTérmino genérico utilizado para indicar el número de dientes
ØTérmino genérico utilizado para indicar un diámetro
RTTRelación total de la transmisión
RT-1Relación de transmisión parcial en la 1ª desmultiplicación
RT-2Relación de transmisión parcial en la 2ª desmultiplicación



NOTAS FINALES:

Para abreviar ésta sección, la mayoría de fórmulas y ejemplos de cálculos siempre se refieren al uso de piñones o engranajes. Con poleas los planteamientos son iguales, pero sustituyendo los datos de dientes por los de los diámetros. En el caso de engranajes solo se utiliza el número de sus dientes, pero nunca sus diámetros, Ejemplos de una misma fórmula (los elementos que cambian van rubrayados):


Ejemplo usando piñones o engranajes:

V-E2 = V-E1 x DT-P1 / DT-P2


Ejemplo usando poleas y correas:

V-E2 = V-E1 x Ø-P1 / Ø-P2


Hay que tener en cuenta que los datos de velocidad referentes a piñones, engranajes, poleas o ejes pueden venir bajo distintas denominaciones en las fómulas, como por ejemplo: V-E1, ó V-P1. La primera se refiere a la velocidad de un eje, y la segunda a la de un piñón, polea o engranaje, y cuyas velocidades serán idénticas al rodar cada elemento solidariamente con su eje o viceversa.

Normalmente siempre habrá dos datos fijos, como son el diámetro de las ruedas motoras (según el diseño del plano), y las r.p.m. del motor de arrastre. Para lograr una buena desmultiplicación el mecánico modelista podrá ir variando los valores de todos los demás elementos hasta conseguir la mejor relación.




CÁLCULO DE LAS VELOCIDADES DE LOS EJES.-


CÁLCULOS PARCIALES.-


Fórmula para la primera desmultiplicación:

V-E2 = V-E1 x DT-P1 / DT-P2



De donde se obtiene:

V-E2 = 3.500 x 12 / 36 = 1.167 r.p.m.


Fórmula para la segunda desmultiplicación:

V-E3 = V-E2 x DT-P3 / DT-P4



De donde se obtiene:

V-E3 = 1.167 x 12 / 20 = 700 r.p.m..





CÁLCULO GLOBAL.-


Si se desea hacer el cálculo total de la transmisión, se emplea la siguiente variante:


V-E3 = V-E1 x (DT-P1 x DT-P3 / DT-P2 x DT-P4)



De donde se obtiene el mismo resultado que sumando las parciales:

V-E3 = 3.500 x (12 x 12 / 36 x 20) = 700 r.p.m.





CÁLCULO DE LA RELACIÓN DE TRANSMISIÓN.-


GENERALIDADES

La relación de transmisión es la proporción que hay entre los datos de entrada y los de salida. Éste coeficiente podrá ser multiplicador o reductor (como en el caso del modelismo). Las velocidades empleadas suelen medirse en revoluciones por minuto (r.p.m.).

El resultado de una relación será siempre una fracción y no una división, indicando la relación entre dos números, y donde uno de ellos será siempre el número 1.

Si el numerador es mayor que el denominador, la relación será reductora, y viceversa.

El cálculo puede hacerse con varias fórmulas distintas, mostrando aquí la más simple. En todo caso cualquier fórmula puede basarse en el número de dientes, los diámetros o las velocidades, y todas darán el mismo resultado. Para mayor brevedad solo se exponen las basadas en el número de dientes de los piñones o engranajes.


CÁLCULO DE LA RELACIÓN TOTAL.-


En base al número de dientes:


RTT = DT-P2 x DT-P4 / DT-P1 x DT-P3


De donde se obtiene:

RTT = 36 x 20 / 12 x 12 = 720 / 144 = 5 / 1

(es decir = relación 5 : 1)




En base a los diámetros:


RTT = Ø-P2 x Ø-P4 / Ø-P1 x Ø-P3


De donde se obtiene:

RTT = 90 x 50 / 30 x 30 = 4.500 / 900 = 5 / 1

(es decir = relación 5 : 1)




En base a las velocidades:


Para éste cálculo deben hallarse primero las relaciones de cada paso de la desmultiplicación. El producto de esos resultados parciales dará la relación final total, a saber:


Primera desmultiplicación.-


RT-1 = V-P2 / V-P1


De donde se obtiene:

RT-1 = 3.500 / 1.167 = 3




Segunda desmultiplicación.-


RT-2 = V-P3 / V-P2


De donde se obtiene:

RT-2 = 1.167 / 700 = 1,67




Desmultiplicación total.-


RTT = RT-1 x RT-2


De donde se obtiene:

RTT = 3 x 1,67 = 5

(Léase el resultado como 5 : 1)


Los resultados están redondeados, despreciando las centésimas.




CÁLCULO DE LA VELOCIDAD FINAL DE LA LOCOMOTORA EN Km/h.-


Fórmula Única:


V-Km/h = V-E3 x 60 x 6,28 x RRM en m/m


Donde:

  • V-Km/h = Velocidad de la locomotora en Km/h.

  • V-E3 = Velocidad final del eje motor de la locomotora.

  • 60 = Los minutos de una hora.

  • 6,28 = El producto de 2 por el número PI.

  • RRM = Radio de la rueda de la locomotora.

La cantidad resultante se divide por un millón para obtener los Km/h a plena potencia .


Ejemplo:

V-Km/h = 700 x 60 x 6,28 x 60 / 1.000.000 = 15,8 Km/h.





NOTAS FINALES.-


Cuando se dice velocidad máxima de la locomotora, se refiere a una situación ideal con los motores a plena potencia, y donde la rampa y/o peso muerto arrastrado son nulos. Por ello la velocidad real de trabajo será siempre menor, disminuyendo progresivamente al aumentar la carga y/o el perfil de ascenso.

En los modelos de 5 pulgadas las transmisiones con piñones y cadenas suelen emplear elementos de unos 5 m/m de ancho, mientras que en los de 7 y 1/4 son normalmente de unos 7 m/m.




 

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